Diferensial dan Integral

Mungkin sampai hari ini masih ada yang bertanya-tanya, sebenarnya dipakai untuk apa diferensial dan integral yang dulu pernah kita pelajari. Pertanyaan ini terus berada di kepala saya karena belum terjawab. Apakah hanya untuk mengerjakan ujian kalkulus dan matematika teknik? Apakah tidak akan pernah kita jumpai dalam kehidupan sehari-hari? Lalu apa sebenarnya filosofi diferensial dan Integral?

Baiklah kita mulai dengan sebuah cerita.

Di suatu Sekolah Dasar di ujung pulau Sumatra, seorang guru sedang mengajarkan mata pelajaran matematika.

Ibu Guru : “anak-anak, apa rumus kecepatan, siap yang bisa jawab?”

Murid : “kecepatan sama dengan jarak dibagi waktu Bu”

Ibu Guru : “betul… sekarang dari rumus tadi, kalau jarak sama dengan apa?”

Murid : “jarak sama dengan kecepatan dikali waktu Bu”

Jarak = Kecepatan x Waktu

Ibu Guru : “Nah sekarang ibu punya mobil kecepatannya 10km/jam. Ibu menyetir selama 3 jam. Berapa kilometer kira-kira yang ibu tempuh ?”

Murid : “30km Bu”

Ibu Guru : “Pintar…”

Ibu Guru beranjak, mengambil kapur dan menuju papan tulis. Lalu membuat grafik di papan tulis.

Ibu Guru : “Anak-anak, tadi kan kecepatannya 10km/jam. Nah kalau kecepatannya seperti gambar ini, setelah 3 jam ibu sudah menempuh berapa kilometer ya ?”

Murid-murid terdiam dan berdiskusi, tiba-tiba seorang murid yang duduk di bangku paling belakang mengacungkan tangan dan menjawab pertanyaan ibu guru.

Murid: “ibu sudah menempuh 35 kilometer”

Ibu Guru : “betul sekali, coba bantu ibu menerangkan caranya”

Murid :

“Jarak kan sama dengan kecepatan dikali waktu bu. Ya saya kalikan saja.

Di jam ke 0 sampai jam ke 1 kecepatan mobil ibu 10km/jam, jadi jarak yang ditempuh 10 km

Di jam ke 1 sampai jam ke 2 kecepatan mobil ibu 20km/jam, jadi jarak yang ditempuh 20 km

Di jam ke 2 sampai jam ke 3 kecepatan mobil ibu 5km/jam, jadi jarak yang ditempuh ya cuma 5km

Kalau dijumlah, totalnya 35km Bu”

Ibu Guru : “oke satu pertanyaan terakhir sebelum kita istirahat”

Ibu Guru kembali menggambar grafik di papan tulis.

Ibu Guru : “kalau gambarnya seperti ini, setelah 3 jam ibu sudah menempuh berapa kilometer ?”

Murid-murid hanya terdiam. Tidak ada yang bisa menjawab. Lalu tiba-tiba Pak Kepala Sekolah menjawab dari balik jendela. Rupanya beliau sudah ada disana dan mengamati sejak tadi.

Pak Kepala Sekolah : “Jawabannya baru bisa ketemu kalo pake integral”

Yak, itulah integral. Integral digunakan untuk memecahkan persamaan yang nilai variabelnya berubah-ubah. Seperti kasus diatas,

Jarak = Kecepatan x Waktu

Apabila variable kecepatan dan waktu adalah konstan, maka dengan menggunakan ilmu aljabar, yaitu perkalian, bisa didapatkan jarak. Apabila variable kecepatan berubah-ubah, seperti pada grafik kedua, maka ilmu aljabar tidak bisa lagi digunakan untuk mendapatkan jarak. Cara untuk mendapatkannya adalah dengan menggunakan integral.

Ide dasar integral sama dengan yang dilakukan murid yang duduk di bangku paling belakang. Grafik tersebut harus dipecah-pecah menjadi bagian-bagian dengan lebar Δt. Nilai Δt ini haruslah sangat kecil sehingga tinggi grafik untuk lebar Δt tersebut memiliki satu nilai. Nilai Δt yang sangat kecil inilah yang biasa kita kenal dengan dt.

Dapat kita analogikan dengan pernyataan sang murid :

“Di jam ke 0 sampai jam ke 1 kecepatan mobil ibu 10km/jam, jadi jarak yang ditempuh 10 km”

Maka :

“Di jam ke 0 sampai jam ke dt kecepatan mobil ibu v km/jam, jadi jarak yang ditempuh s km”

Setelah dikalikan v dengan dt dan didapatkan masing-masing hasilnya, maka langkah terakhir adalah seperti yang dilakukan (lagi-lagi) oleh si murid yang duduk di bangku belakang :

“Kalau dijumlah, totalnya 35km Bu”

Berarti, langkah terakhir adalah dijumlahkan. Atau yang kita kenal di microsoft excel dengan sum. Huruf s dari kata sum inilah yang menjadi lambang dari integral. Hal inilah yang dilakukan oleh Riemann.

Maka dapat disimpulkan, jarak adalah jumlahan (sum) nilai kecepatan dikali waktu dengan interval yang sangat kecil. Atau

Demikianlah penjelasan tentang integral. Jadi, filosofi penggunaan integral adalah apabila kita ingin mencari hasil dari sebuah persamaan, namun variabelnya berubah-ubah terhadap variable lainnya, sehingga persamaan tersebut tidak bisa kita pecahkan dengan aljabar biasa.

.

.

Lain halnya dengan diferensial.  Diferensial bercerita tentang perubahan.

Ilustrasi sederhananya

Misalnya ;

posisi = 2 x waktu

Apabila ada persamaan yang menghasilkan posisi dengan input waktu, maka diferensial dari persamaan tersebut terhadap waktu, menyatakan perubahan posisi terhadap waktu. Atau dengan kata lain yang kita kenal dengan kecepatan.

Ilustrasi lainnya

jumlah jeruk = 2 x luas lahan

persamaan diatas bila di-diferensial-kan / diturunkan akan menyatakan perubahan jumlah jeruk terhadap luas lahan.

Bila dilihat, pada kedua ilustrasi diatas terdapat kesamaan, yaitu sama-sama menyatakan perubahan.

perubahan posisi terhadap waktu

perubahan jumlah jeruk terhadap luas lahan

Apabila kita ingin mendapatkan nilai perubahan posisi terhadap waktu maka diferensialkanlah persamaan posisi dengan input waktu. Apabila kita ingin mendapatkan nilai perubahan jumlah jeruk terhadap luas lahan maka diferensialkanlah persamaan jumlah jeruk dengan input luas lahan.

Jadi dapat disimpulkan bahwa, filosofi penggunaan diferensial adalah apabila kita ingin menyatakan perubahan sesuatu terhadap sesuatu lainnya.

Demikianlah sekilas tentang filosofi diferensial dan integral.